Matemaatika võib paljudele õpilastele ja ka täiskasvanutele tunduda hirmutava valdkonnana, eriti kui teemaks tulevad harilikud murrud. Murdude liitmine ja lahutamine on enamasti veel mõistetavad, kuid kui jõuame murdude jagamiseni, tekib paljudes segadus. Miks me järsku pöörame murru pea peale? Kuidas on võimalik, et jagades murru teise murruga, saame tulemuseks suurema arvu? Need küsimused on täiesti loomulikud. Tegelikult on harilike murdude jagamine üks matemaatika kõige elegantsemaid ja loogilisemaid operatsioone, kui olete kord selgeks saanud paar lihtsat kuldreeglit.
Miks murdude jagamine tundub keeruline?
Segadus tekib sageli seetõttu, et murdude jagamine ei järgi meie igapäevast intuitiivset arusaama jagamisest. Kui jagame kümnendarve või täisarve, eeldame, et tulemus on algsest arvust väiksem. Murdude puhul see alati nii ei ole. Kui jagate terve arvu murruga, mis on väiksem kui üks, muutub tulemus suuremaks. See vastandub meie harjumustele ja tekitab kognitiivse dissonantsi. Kuid võti peitub selles, et murru jagamine on sisuliselt sama, mis murruga korrutamine, kui teate, kuidas seda teha.
Kõige olulisem kontseptsioon, mida peate mõistma, on pöördarv. Matemaatikas tähendab see murru lugeja ja nimetaja vahetamist. Kui teil on murd 3/4, siis selle pöördarv on 4/3. See lihtne samm on murdude jagamise võti. Kui olete pöördarvu leidmise selgeks saanud, on pool tööd juba tehtud.
Põhireegel: Korda, keera ja korruta
Harilike murdude jagamiseks kasutatakse kuldset reeglit, mida inglise keeles tuntakse kui “Keep, Change, Flip” (hoia, muuda, keera). Eestikeelses õppekavas kutsume seda sageli lihtsalt jagamise reegliks, kus jagamine asendatakse jagaja pöördarvuga korrutamisega. See koosneb kolmest lihtsast etapist:
- Hoia esimene murd samana. Ära muuda midagi esimeses murrus, mis on jagatav. See jääb täpselt selliseks, nagu ta on.
- Muuda jagamismärk korrutamismärgiks. See on kõige olulisem samm. Jagamine kui operatsioon asendatakse selle vastandoperatsiooniga, mis on korrutamine.
- Keera teine murd ümber (pööra). Teine murd ehk jagaja tuleb pöörata ehk leida selle pöördarv. See tähendab, et vahetate lugeja ja nimetaja omavahel.
Kui need kolm sammu on tehtud, korrutate murrud tavapärasel viisil: lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga. See meetod töötab absoluutselt iga murdude jagamise ülesande puhul, olgu need lihtmurrud, segaarvud või täisarvud.
Kuidas jagada täisarvu murruga?
Sageli komistatakse olukorra otsa, kus on vaja jagada täisarv murruga, näiteks 5 jagatud 1/2-ga. Paljud arvavad ekslikult, et vastus on 2,5, kuid see on vale. Kui vaatate seda loogiliselt, siis küsimus on: “Mitu poolikut on viies terves?”
Selle lahendamiseks teisendage täisarv esmalt murruks. Täisarv 5 on sama, mis 5/1. Nüüd on teil tehe 5/1 jagatud 1/2-ga. Rakendades meie reeglit, saame 5/1 korrutatud 2/1-ga. Tulemuseks on 10/1 ehk 10. See on palju loogilisem – viies terves on tõepoolest kümme poolikut.
Segaarvude jagamine: lisage üks samm
Segaarvud, nagu 2 ja 1/3, teevad olukorra veidi keerulisemaks, sest jagamist ei saa teha, kui ees on täisosa. Esimene samm enne jagamisreegli rakendamist on segaarvu teisendamine liigmurruks. Selleks korrutage täisosa nimetajaga ja liitke lugeja. Näiteks 2 ja 1/3 muutub (2 * 3 + 1) / 3 ehk 7/3.
Alles pärast seda, kui mõlemad arvud on liigmurrud, saate rakendada “korda, keera ja korruta” meetodit. See on sageli see koht, kus õpilased teevad vigu, püüdes jagada täisosa ja murruosa eraldi. Ärge seda tehke – alati teisendage liigmurruks.
Levinud vead ja kuidas neid vältida
Kõige sagedasem viga on jagaja pööramata jätmine. Inimesed näevad jagamismärki ja hakkavad kohe lugejat lugejaga jagama, mis viib sageli vigaste tulemusteni. Teine levinud viga on liiga kiirustamine ja taandamise unustamine. Taandamine on protsess, kus lugejat ja nimetajat jagatakse sama arvuga enne lõplikku korrutamist. See muudab arvud väiksemaks ja lihtsustab tehet oluliselt.
Näiteks kui teil on korrutis (3/4) * (8/9), võite korrutada 3 * 8 = 24 ja 4 * 9 = 36, saades 24/36, mida peate seejärel taandama. Kuid palju lihtsam on taandada risti enne korrutamist: 3 ja 9 jaguvad 3-ga, andes 1 ja 3; 4 ja 8 jaguvad 4-ga, andes 1 ja 2. Tulemuseks on kohe (1/1) * (2/3) = 2/3. See säästab aega ja vähendab arvutusvigu.
Praktilised näited igapäevaelust
Matemaatika muutub huvitavaks siis, kui näete selle rakendust päriselus. Kujutage ette, et teil on pool liitrit mahla ja soovite selle jagada klaasidesse, kuhu mahub 1/8 liitrit. See on täpselt murdude jagamise ülesanne: 1/2 jagatud 1/8-ga.
Rakendades reeglit: 1/2 * 8/1 = 8/2 = 4. Teil on vaja neli klaasi. Sellised näited aitavad murdude loogikat paremini kinnistada. Kui õpite matemaatikat läbi praktiliste näidete, ei pea te reegleid lihtsalt tuimalt pähe tuupima, vaid hakkate neid intuitiivselt mõistma.
Korduma kippuvad küsimused
Kas murdude jagamisel peab alati tulemus olema väiksem kui algne arv?
Ei pea. See on üks suurimaid müüte. Kui jagate arvu murruga, mis on väiksem kui üks (näiteks 1/4), siis vastus on alati suurem kui algne arv. See juhtub seetõttu, et te jagate terviku väikesteks osadeks ja küsite, mitu sellist osa tervikusse mahub.
Mida teha, kui murrud on negatiivsed?
Negatiivsete murdude puhul kehtivad täpselt samad märgi-reeglid nagu täisarvude puhul. Miinus jagatud miinusega annab plussi, miinus jagatud plussiga annab miinuse. Järgige jagamise reeglit ja lisage märk lõpptulemusele.
Kas vastuse peab alati taandama?
Matemaatikas loetakse heaks tavaks anda vastus alati kõige lihtsamal kujul. Kui teie vastus on 4/8, siis on korrektne see taandada 1/2-ks. Õpetajad ja eksamineerijad eeldavad peaaegu alati taandatud kujul vastuseid.
Kuidas ma tean, kas mu vastus on õige?
Kõige lihtsam viis on teha vastupidine tehe. Kui jagasite A jagatud B-ga ja saite C, siis peaks C korrutatud B-ga andma tulemuseks A. See on kiire kontrollmeetod, mis aitab vältida rumalaid arvutusvigu.
Õppimise psühholoogia ja järjepidevus
Matemaatika ei ole talent, vaid oskus, mida saab treenida. Murdude jagamine on paljudele esimene suurem takistus, kus peab hakkama mõtlema “kastist väljas”. Ärge heituge, kui esimesel korral kõik kohe välja ei tule. Probleem ei ole teie võimekuses, vaid selles, kuidas teile on seda tehnikat tutvustatud. Harjutage alguses lihtsamate murdudega, kus nimetajad on väikesed, ja liikuge alles siis keerulisemate segaarvude juurde.
Kasutage visuaalseid vahendeid. Joonistage ringe või ristkülikuid ja jagage neid osadeks. Kui näete paberil, kuidas murd jaguneb, muutub abstraktne tehe konkreetseks. Paljud inimesed on visuaalsed õppijad ning murdude puhul on see eriti efektiivne meetod. Kui olete endale selgeks teinud, et jagamine on tegelikult vastupidine korrutamisele, muutub kogu matemaatika teie jaoks oluliselt loogilisemaks. Järjepidev harjutamine on ainus viis, kuidas see teadmine kinnistada ja muuta see loomulikuks osaks teie matemaatilisest pagasist.
Lõpuks tasub meeles pidada, et matemaatika on keel. Kui tunnete selle keele grammatikat ehk reegleid, saate suhelda universumi kõige täpsema keelega. Murdude jagamine on vaid üks väike, kuid oluline peatükk selles pikas ja põnevas õppimisprotsessis. Võtke rahulikult, kontrollige oma samme ja ärge kartke teha vigu, sest just vigadest õpitakse kõige paremini. Iga kord, kui pöörate murru ümber ja korrutate selle, olete sammu võrra lähemal matemaatilisele enesekindlusele.
